რიცხვითი მეთოდები

ნიუტონის (მხებთა) მეთოდი

Leave a comment

გვაქვს განტოლება: f(x) = 0 და მისი ფესვი არის α. მიღებული გვაქვს ისეთი [a, b] სეგმენტი, სადაც f(x) უწყვეტია და ორჯერ წარმოებადია. ასევე, ფუნქცია სეგმენტის ბოლოში იღებს სხვადასხვა ნიშნის მნიშვნელობებს: f(a)cdot f(b) < 0. მაგალითისთვის (ზოგადობის შეუზღუდავად) ჩავთვალოთ, რომ f''(x)>0 როცა a le x le b და f(b)>0, ანუ:გავატაროთ f(x) ფუნქციის მხები წერტილში B_0 (x_0, f(x_0)) . B_n (x_n, f(x_n)) წერტილში სადაც n = 0, 1, 2 … გამავალი მხების განტოლება არის: y - f(x_n) = f'(x_n)(x-x_n)

თუ ჩავთვლით, რომ y=0, x= x_{n+1}, მივიღებთ შემდეგს:

x_{n+1} = x_n - frac {f(x_n)} {f'(x_n)}

მხებისა და OX ღერძის გადაკვეთის წერტილში x_1 აღვმართოთ მართობი f(x) ფუნქციასთან გადაკვეთამდე. ამ წერტილს დავარქვათ B_1(x_1, f(x_1)). ამ წერტილში ისევ გავატაროთ მხები აბსცისათა ღერძთან გადაკვეთამდე. მივიღებთ x_2 მიახლოებას… და ა.შ.

მეთოდის ილუსტრაცია:

 უნდა იყოს აღნიშნულია, რომ თუ პირველ მიახლოებას მივიღებთის a წერტილიდან (ანუ მხებს გავატარებდით A წერტილში), მაშინ მივიღებდით x'_1 წერტილს, რომელიც მდებარეობს [a, b] სეგმენტის გარეთ (შესრულდება პირობა f(x_0)f''(x_0)<0), რაც არ გვაწყობს. ამგვარად, გამოდის რომ ნიუტონის მეთოდის გამოყენებისთვის ‘კარგ საწყის მიახლოებად’ გამოდგება ნებისმიერი x_0 წერტილი, რომლისათვის სრულდება უტოლობა:

f(x_0) cdot f''(x_0)>0

ეს იყო მეთოდის გეომეტრიული წარმოდგენა. მათემატიკურად კი ეს მეთოდი გამოიყვანება ტეილორის ფორმულის გამოყენებით. თუ გაინტერესებთ, შეგიძლიათ იხილოთ გამოყვანა ჩვენი საიტის ნებისმიერ წიგნში.

Leave a comment